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Édition : Bec Bunsen

Mandelbrot, les fractales et l'art de la rugosité

Le mathématicien Benoît Mandelbrot est donc mort le 14 octobre. En février, il donnait une conférence TED sur ce qui l'a rendu célèbre: les fractales. Voici un essai de transcription.

Il existe différents types de désordre. Par hasard, je me suis interessé il y a bien longtemps à cette forme de complexité. J'ai été totalement ébloui. J'ai trouvé des traces – de très fortes traces, je dois dire – d'ordre dans le chaos. Je préfère utiliser le mot «rugosité» plutôt qu'«irrégularité» parce qu'«irrégularité» semble être le contraire de «régularité». Or ce n'est pas le cas. La régularité est le contraire de la rugosité parce que le monde, essentiellement, est très rugueux.

Voici un chou-fleur. C'est un légume très compliqué et très simple, tous les deux en même temps. Si vous essayez de le peser, bien sûr, c'est très simple. Et quand vous le mangez, le poids est important. Mais supposons que vous essayez de mesurer sa superficie. Si vous coupez, avec un couteau fin, une fleurette de chou-fleur et si vous le regardez, ça vous rappellera le chou-fleur entier, mais en plus petit. Et puis vous coupez encore, encore et encore. Et vous aurez toujours des petits choux-fleurs. Depuis toujours, l'humanité est confronté à des formes qui ont cette propriété particulière: chaque partie est comme le tout, mais en plus petit. Qu'a fait l'humanité de ça? Pas grand chose.

J'ai découvert que l'on pouvait mesurer la rugosité avec des nombres comme 2,3 ou 1,2.. Un jour, un ami m'a montré une photo en me demandant «quelle est la rugosité de cette courbe?» J'ai dit: «un peu moins de 1,5». C'était 1,48.

Ces nombres indiquent la rugosité de ces surfaces. Celles-ci sont complètement artificielles; elles sont générées par ordinateur. La seule donnée entrée est un nombre qui indique la rugosité. A gauche, on a une rugosité courante dans beaucoup de paysages. A droite, j'ai entré une rugosité élevée. En regardant attentivement, l'œil sait très bien les distinguer.

L'humanité a dû apprendre à mesurer la rugosité. On dit: «celui-ci est rugueux, celui-là est assez lisse et ce dernier est très lisse». Très peu de choses sont très lisses. Alors quand on essaye de se demander «quelle est la superficie d'un chou-fleur?», on mesure, on mesure, on mesure. A chaque fois, elle grandit. Quelle est la longueur du littoral de ces lacs? Plus on se rapproche, plus on s'aperçoit qu'il grandit. L'idée de la longueur d'un littoral, qui semble si naturelle parce qu'on nous la donne souvent, est, en fait, complètement fallacieuse: elle n'existe pas. Il faut penser différemment.

A quoi ça sert de connaître ces choses? Bizarrement, c'est très utile. D'abord, les paysages artificiels sont employés en permanence dans le cinéma. On aperçoit des montagnes au loin. Ce sont peut-être des montagnes, mais peut-être seulement des formules mathématiques appliquées. Aujourd'hui, c'est très facile à faire.

Regardez ça. C'est un vrai poumon. Le poumon est quelque chose de très étrange. Quand on le prend dans la main, on sent que ça ne pèse pas grand chose. Le volume d'un poumon, même, est très limité. Et sa surface alors? Des anatomistes se sont beaucoup disputés à ce propos. Certains disent que le poumon de l'homme moyen a la même surface que l'intérieur d'un ballon de basket. D'autres disent plutôt cinq ballons. La différence est énorme. Pourquoi? Parce qu'en fait, la surface du poumon est très mal définie. Les bronches se divisent tout le temps en plus petites bronches. Ils arrêtent de bifurquer à un moment. Ce n'est pas une question de principes, mais le résultat de conditions physiques, à cause du mucus à l'intérieur des poumons. Mais si vous partez d'un poumon bien plus grand, ça continue à bifurquer, jusqu'aux dimensions à peu près similaires pour une baleine, pour un homme et pour un petit rongeur.

Jusqu'à récemment, les anatomistes n'avaient qu'une très vague idée de la structure du poumon jusqu'à très récemment. Et je pense que mes mathématiques ont beaucoup aidé les chirurgiens qui étudient les maladies pulmonaires, mais aussi les maladies rénales et tous les systèmes qui bifurquent, ceux pour lesquels il n'existait pas de géométrie auparaant.

Autrement dit, j'ai construi une géométrie des choses qui n'avaient pas de géométrie. De façon assez surprenante, les règles de cette géométrie sont très simples. Vous avez des formules courtes que vous pouvez appliquer plusieurs fois. Et à la fin vous obtiendrez des choses comme ça.

Ce nuage est à 100% artificiel. Bon, à 99,9%: la seule partie naturelle est un nombre, celui de la rugosité du nuage. Quelque chose d'aussi complexe qu'un nuage, aussi instable, aussi variable, parvient à suivre une règle simple.

Autre chose: il y a environ 145 ans, les mathématiciens ont commencé à créer des formes qui n'existaient pas. Ils voulaient démontrer que l'homme peut inventer des choses que la nature ne connaît pas. En particulier, il peut inventer une courbe qui remplit un plan. Une courbe c'est une courbe, un plan c'est un plan, et les deux ne se mélangent pas. Pourtant un homme qui s'appelait Peano a défini de telles courbes. C'est surtout intéressant parce que cela introduit une séparation entre des mathématiques qui viennent de la réalité d'un côté et les nouvelles mathématiques purement issues de l'esprit de l'homme.

Entre 1875 et 1925, les mathématiques on commencé à s'émanciper du monde réel. Mais ces objets abstraits, je les ai complètement renversés pour décrire des aspects de la complexité de la nature.

En 1919, un homme qui s'appelait Hausdorff a introduit un nombre qui n'était qu'une blague mathématique. J'ai trouvé que ce nombre était une bonne façon de mesurer la rugosité. Le grand peintre Hokusai le savait très bien: les choses sont comme des algues. Il ne connaissait pas les mathématiques moderne; ça n'existait pas encore. Il était japonais et n'avait aucun contact avec l'Occident. Mais la peinture avait depuis longtemps un côté fractal. La Tour Eiffel a un aspect fractal. Et j'ai lu le livre que Gustave Eiffel a écrit à propos de sa tour. C'est étonnant de constater combien il en avait conscience.

Voici est un véritable bazar: le mouvement brownien. J'ai joué avec pendant quelque temps. Ca tournait en rond. Alors j'ai repris les choses au début. J'ai dit à mon assistant: «Je ne vois rien. Peux-tu le peindre?» Alors il a peint ce qu'il a vu, c'est-à-dire qu'il a tout assimilé. Puis il a dit: «Et alors, telle chose est apparue...» J'ai dit: «Stop! Stop! Stop! Je vois: c'est une île.» Le mouvement brownien, qui a une indice de rugosité de deux, tourne en rond. Je l'ai mesuré: 1,33. Et encore, encore, encore. De longs essais, de grands mouvements browniens: 1,33. Comment le démontrer? Il a fallu vingt ans à mes amis. Ils ont obtenu une grande médaille [la médaille Fields] en mathématiques pour avoir démontré des choses que j'avais vues sans être capable de les démontrer.

J'ai passé mon adolescence en France pendant l'occupation allemande. Parce que je pensais que je pouvais mourir dans un jour ou une semaine, j'avais de grands rêves. Après la guerre, j'ai revu à nouveau un oncle, un mathématicien très éminent, qui m'a dit: «Tiens, il y a un problème que je n'arrivais pas résoudre il y a vingt-cinq ans, et que personne ne peut résoudre. C'est la construction d'un homme qui s'appelait [Gaston] Julia et [Pierre] Fatou. Si tu peux trouver quelque chose de nouveau, quoi que ce soit, ta carrière sera réussie.» J'ai jeté un coup d'œil. Et comme ces milliers de gens qui avaient déjà essayé, je n'ai rien trouvé.

Puis arriva l'ordinateur. Et j'ai tenté de l'utiliser non pour m'attaquer pas à de nouveaux problèmes en mathématiques mais pour étudier d'anciens problèmes irrésolus. J'ai pu passer des nombres réels – qui sont des points sur une ligne – aux nombres imaginaires, complexes, qui sont des points sur un plan. Et cette forme est apparue. Elle est d'une complexité extraordinaire. L'équation est cachée là: z → z²+c. C'est tellement simple. Vous l'appliquez une fois, deux fois, trois fois et des merveilles apparaissent.

L'une de mes grandes découvertes fut de découvrir que ces îlots étaient identiques au tout, plus ou moins. Et puis vous avez ces décorations extraordinairement baroques partout. Tout cela vient d'une petite formule, qui contient cinq symboles.

La couleur est ajoutée pour deux raisons. Premièrement, parce que ces formes sont si complexes, que l'on n'arriverait jamais à comprendre ces chiffres. Ensuite parce que, par principe, je présente toujours les formes avec des couleurs différentes, certaines couleurs mettant ceci en valeur, d'autres couleurs cela.

 

 

Boîte noire:je ne suis pas mathématicien et je n'ai jamais rencontré les travaux de Mandelbrot qu'en étudiant ceux de Claude Shannon et Warren Weaver en théorie de l'information. Il peut donc rester des expressions mal traduites ou non canoniques dans le relevé ci-dessus. Si vous connaissez tout cela, n'hésitez pas à rectifier dans les commentaires.

Tous les commentaires

18/10/2010, 18:44 | Par Vincent Truffy en réponse au commentaire de JoëlMartin le 18/10/2010 à 18:02

Ces exemples montrent bien l'importance de la couleur pour rendre un modèle mathématique attirant. Ca me rappelle, a contrarion, une phrase de Tati (éventuelle apocryphe) publié dans Les Inrockuptibles lorsqu'ils paraissaient en noir et blanc (oui, je commence à être vieux): «Trop de couleur nuit à la compréhension».

18/10/2010, 18:20 | Par Georges de Furfande

La théorie des fractales démontre l'importance de phénomènes non linéaires. Elle s'inscrit dans les courants de pensée qui remettent en cause les analystes probabilistes simplistes. La théorie des fractales , et ses formulations mathématiques telles que les équations de Schrodinger, est à la base d'explications pour des phénomènes tels que les "vagues scélérates" dont les analyses traditionnelles soustiments très largement les probabilités ( on les appelait les "vagues centenaires"). Si elle s'attache à expliquer des phénomènes de grande ampleur, elle diffère de la théorie du chaos, à l'origine développée dans le cadre de la météorologie. Un des principaux théoriciens de la théorie du chaos est aussi un français , le professeur Ivar Elkland ( qui est à l'origine du caractère du mathématicien dans Jurassic Park).

18/10/2010, 18:48 | Par Vincent Truffy en réponse au commentaire de Georges de Furfande le 18/10/2010 à 18:20

Je sais que vous vous intéressez aux marchés. Il y a dans la vidéo, vers la fin, une partie non traduite parce que je craignais les contresens, qui concerne spécifique les cours boursiers et qui m'a lair intéressante, mais un peu obscure pour moi.

18/10/2010, 18:52 | Par Georges de Furfande en réponse au commentaire de Vincent Truffy le 18/10/2010 à 18:48

18/10/2010, 23:45 | Par marguerite

Pour une parfaite ignorante, cet article et ses explications sont très stimulants. Je me souviens avoir été passionnée par la théorie des ensembles, puis par la théorie du chaos, et là je vois ce travail sur "les systèmes qui bifurquent". Or, sans être scientifique, il suffit d'observer pour constater ces bifurcations à l'infini ou presque. Les choux en sont un très bon exemple, et si l'on regarde la crête d'une forêt en été, dont les cîmes les plus hautes peuvent s'éclaircir et moutonner, on pense immédiatement à des brocolis, et au fait qu'il ressemblent à des petits arbres qui se démultiplient en eux-mêmes.

Quant au "set" de Mandelbrot et aux représentations de fractales, il me vient immédiatement à l'esprit cet objet fascinant et utilisable sans limites : le kaléidoscope qui réfracte tout ce que regarde celui ou celle qui l'utilise.

Merci Vincent Truffy pour cette ouverture sur les travaux de Mandelbrot.

21/04/2011, 08:07 | Par hasbeen

About "Fractals" & "Chaos"...

De Godfrey Reggio, voir/connaitre Naqoyqatsi, ici, (autres parties à suivre) de la trilogie : (Koyaanisqatsi/Powaqqatsi/Naqoyqatsi), musique : Philip Glass. Les images sont époustouflantes.

Bonnes visions & good vibes at all.

,°)

 

27/08/2013, 19:48 | Par Ben Aug

Très intéressant votre post !Cordialement Benjamin de Benjamin…blog.com

18/11/2013, 18:12 | Par julie-creation-web

peut-on partager sur Facebook votre article ? Tous mes relations vont être très intéressés !

12/05/2014, 22:17 | Par Nathalie Bio

Je ne connaissais pas votre blog mais je le trouve très intéressant, je viens de l'ajouter à mes favoris

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