Je crois à la joie surréaliste de l'homme qui...

...averti de l'échec successif des autres, ne se tient pas pour battu et, par un tout autre chemin qu'un chemin raisonnable parvient où il peut. André Breton

Je crois dans ce domaine (la science) comme dans un autre  à la joie surréaliste de l'homme qui, averti de l'échec successif des autres, ne se tient pas pour battu et, par un tout autre chemin qu'un chemin raisonnable parvient où il peut. André Breton

1.1 Ordo ab chao

Comment l'ordre advient-il du chaos ? C'est pour moi une question très intime à l'origine.

Comment cet assemblage de matière auquel je m'identifie a-t-il pus 'organiser pour être ici et maintenant, en un tout identifiable, pour ne pas dire cohérent, ce qui serait présomptueux de ma part.

(source : https://blogs.mediapart.fr/asn/blog/130814/lhomme-quantique)

L'Homme Quantique

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TRANSSUBSTANTIATION, TRANSMODULATION, TRANSLATION

(lire fin du billet :

https://blogs.mediapart.fr/linden-blossom/blog/221217/ce-ne-sont-pas-les-choses-qui-troublent-les-hommes-cest-lidee-quils-sen-font)

La transsubstantiation (en latin : transsubstantiatio, en grec ancien : μετουσίωσις / metousiosis) est un phénomène surnaturel, qui signifie littéralement la conversion d'une substance en une autre. Le terme désigne, pour certains chrétiens (en particulier les catholiques et les orthodoxes), la conversion du pain et du vin en Corps et Sang du Christ lors de l'Eucharistie.

Le terme, qui apparaît pour la première fois chez Hildebert de Tours (dit aussi de Lavardin) vers 1079, est défini comme concept du dogme par le quatrième concile du Latran (1215) et confirmé par celui de Trente (1545–1563)1.

Sur le plan religieux, l'Église catholique (dont les maronites et les arméniens catholiques) emploie le terme de « transsubstantiation » pour expliquer que, dans l'Eucharistie, le pain et le vin, par la consécration de la messe, sont « réellement, vraiment et substantiellement » transformés ou convertis en corps et sang du Christ, tout en conservant leurs caractéristiques physiques ou espèces (texture, goût, odeur : les apparences) initiales. La conséquence en est la « présence réelle » du Christ dans les espèces consacrées.

Théologie de la transsubstantiation

La substance est ce qui existe par soi-même (ipsum esse subsistens). Ainsi, la forme d'un chapeau n'est pas le chapeau lui-même, pas plus que sa couleur, sa taille, sa texture ni aucune autre propriété sensible. C'est le chapeau lui-même (sa « substance ») qui possède une forme, une couleur, une taille, une texture tout en étant distinct de ces propriétés. Contrairement à ces apparences ou accidents, la substance ne peut être perçue par les sens. La substance est une des dix catégories de l'être définies par Aristote (une substance et neuf accidents).

Lorsque Jésus dit pendant la Cène : « Ceci est mon corps », ce qu'il tient dans ses mains a l'apparence d'un pain mais, selon la doctrine romaine catholique, la substance de ce pain a été convertie en chair du Christ. C'est donc vraiment son corps, même si les apparences accessibles aux sens ou aux études scientifiques demeurent celles du pain. La même conversion survient lors de chaque célébration de l'Eucharistie.

« Par la consécration du pain et du vin s'opère le changement de toute la substance du pain en la substance du corps du Christ notre Seigneur et de toute la substance du vin en la substance de son sang ; ce changement, l'Église catholique l'a justement et exactement appelé transsubstantiation2. »

On parle de « présence réelle ». Dans ce cadre, la présence eucharistique du Christ commence au moment de la consécration et dure aussi longtemps que les saintes espèces (pain et vin) subsistent. D'où le culte du Saint-Sacrement, qui connaîtra un grand développement à l'époque baroque. On considère que le Christ est réellement présent dans le Saint-Sacrement.

Dans les écrits d'Hippolyte de Rome, il est demandé de faire preuve d'une vénération particulière pour le Sacrement. La croyance en la transsubtantiation était partagée par plusieurs apôtres des premiers siècles de la chrétienté. La consécration de moniales à Jésus-Eucharistie à l'époque de Cyprien de Carthage atteste l'antiquité de cette doctrine. Augustin dit : « Que personne ne mange cette chair sans d'abord l'adorer ; ... nous pécherions si nous ne l'adorions pas. »

La doctrine de la transsubstantiation a été « fixée par Thomas d’Aquin à partir de la métaphysique aristotélicienne : la matière est composée de qualités premières (la substance elle-même) et de qualités secondes (les sensations). La transsubstantiation, consistant en la modification des qualités premières seules (puisque le goût du pain et du vin – qualités secondes – ne sont eux pas modifiés), trouve selon cette théorie une explication rationnelle. Ce qui, dans ce contexte de la définition proprement dite est appelé substance et espèce doit donc en définitive être compris d’après les catégories médiévales (aristotéliciennes) de substance et accident. La substance est ce qui existe par soi (ipsum esse subsistens) et l’accident est ce qui change, ce qui n’existe qu’en un autre. Ce ne sont donc pas les caractéristiques physiques (accidents, apparences) du pain et du vin qui changent. Contrairement à ces apparences ou accidents, la substance ne peut être perçue par les sens. La substance est une des dix catégories de l’être définies par Aristote. Cette doctrine de la transsubstantiation rend ainsi compte de la présence réelle du Christ dans les espèces eucharistiques après la consécration. Le luthéranisme rejettera cette doctrine au profit de celle de la consubstantiation. Voir eucharistie, consubstantiation, consécration, présence réelle »3.

Historique

Selon G. K. Chesterton4, le mot qui apparaît dès la fin du XIe siècle chez Hildebert de Tours vers 1079, est défini comme terme du dogme par le quatrième concile du Latran (1215) et confirmé par celui de Trente (1545-1563), mais l'idée est selon lui « visiblement présente dès les premiers temps de l'Église ». Quant à la doctrine de la transsubstantiation, elle est fixée par le théologien dominicain Thomas d'Aquin à partir de l'aristotélisme : la matière est composée de qualités premières (la substance elle-même) et de qualités secondes (les sensations). La transsubstantiation, consistant en la modification des qualités premières seules (puisque le goût du pain et du vin - qualités secondes - ne sont eux pas modifiés), trouve selon cette théorie une explication rationnelle5.

Le concept s'oppose à la simple consubstantiation défendue par certains théologiens comme Guillaume d’Occam ou Duns Scot et qui sera reprise par les protestants luthériens. Ainsi, le canon 1 de la 13e session du concile déclare :

« Si quelqu'un nie que le Corps et le Sang de Notre Seigneur Jésus-Christ, avec son Âme, et la Divinité, et par conséquent Jésus-Christ tout entier, sont contenus véritablement, réellement, et substantiellement au Sacrement de la Très-Sainte Eucharistie ; mais dit qu'ils y sont seulement comme dans un signe, ou bien en figure, ou en vertu : qu'il soit anathème. »

Le « Ceci est mon corps » pendant la Cène, par Andreas Meinrad (1751)

(source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Transsubstantiation)

L'effet Luxembourg ou transmodulation ionosphérique est la modulation d'une onde radioélectrique (généralement de faible puissance) par celle d'une autre source (plus puissante) émettant sur une fréquence différente. Ce phénomène résulte d'effets non linéaires dans une région de l'ionosphère traversée par les deux ondes1.

Cet effet fut observé pour la première fois en 1933 : le faible signal d'une petite station radio suisse s'est retrouvé modulé par le signal du puissant émetteur du Luxembourg qui travaillait à une fréquence totalement différente. Les émissions luxembourgeoises étaient alors captées sur la fréquence de la radio suisse. (source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Luxembourg)

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En géométrie, une translation est une transformation géométrique qui correspond à l'idée intuitive de « glissement » d'un objet, sans rotation, retournement ni déformation de cet objet.

En géométrie classique, la notion de translation est très fortement liée à celle de vecteur, qu'elle suit ou précède. Ainsi trouve-t-on la translation de vecteur u → {\displaystyle {\vec {u}}} \vec{u} définie comme une transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que :

M M ′ → = u → {\displaystyle {\overrightarrow {MM'}}={\vec {u}}} \overrightarrow{MM'} = \vec{u}

On dit alors que M’ est le translaté de M. C'est l'image de M par cette translation.

La notion se généralise en géométrie affine, associée à l'application linéaire associée : une translation est une application affine dont l'application linéaire associée est l'identité.

On parle également de translation, ou de mouvement de translation en physique pour un mouvement dans lequel, à tout instant, le solide garde la même orientation dans l'espace. Ce mouvement n'est pas toujours rectiligne. Ainsi le mouvement d'une nacelle dans la grande roue d'une fête foraine est un mouvement de translation circulaire (la trajectoire est circulaire mais la nacelle reste toujours verticale).

Géométrie « classique »

Plusieurs approches

 

La translation qui transforme A en B transforme C en D car [BC] et [AD] ont même milieu

En géométrie classique, selon les approches, on peut définir d'abord les vecteurs et ensuite les translations ou bien définir les vecteurs à partir des translations.

Le vecteur peut être défini comme une classe d'équivalence de bipoints équipollents1 : (A,B) et (C,D) sont équipollents si les segments [AD] et [BC] ont même milieu, c'est-à-dire si (ABDC) est un parallélogramme (éventuellement plat). Dans ce cas, la translation de vecteur A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} \overrightarrow{AB} est définie comme l'application qui au point M associe le point M' tel que M M ′ → = A B → . {\displaystyle {\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {AB}}.} \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{AB}.

Selon une seconde approche, pour tous points A et B, et pour tout point C, il existe un unique point D tel que le quadrilatère ABDC dessine un parallélogramme éventuellement plat2 ou bien tel que [AD] et [BC] ont même milieu3. L'application qui, au point C, associe le point D est appelée translation de vecteur A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} \overrightarrow{AB}. Deux vecteurs sont égaux s'ils conduisent à la même translation.

 

La translation de vecteur u transforme le triangle ABC en le triangle A'B'C'. On remarque la présence de plusieurs parallélogrammes : ABB'A', ACC'A', BCC'B'.

Cependant, quelle que soit l'approche, la translation est liée à la présence de parallélogramme. Elle se traduit par un déplacement de toute la figure sans changement ni de la direction, ni du sens, ni des longueurs.

Construire l'image d'une figure par une translation revient à la faire glisser dans une direction, un sens et avec une longueur donnée.

Propriétés de conservation

Un tel glissement n'entraîne pas de déformation ni de changement de disposition, donc:

  • Dans une translation, les longueurs, le parallélisme, la perpendicularité et plus généralement les angles sont conservés.
  • Une translation transforme une droite en une droite parallèle.
  • Par une translation, une figure géométrique est transformée en une figure géométrique isométrique. En effet, il n'y a aucune déformation : les deux figures sont superposables.

Pour construire l'image d'une figure géométrique, on ne construit donc que l'image de ses points caractéristiques: pour un segment, ses extrémités, pour un triangle, ses trois sommets, pour un cercle, son centre et son rayon, etc.

La translation est la seule transformation qui laisse invariants les vecteurs c’est-à-dire telle que

A B → = A ′ B ′ → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {A'B'}}} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'}

Composition

 

Composée de plusieurs translations - Pour passer du point M au point M5, plusieurs chemins sont possibles. On peut transformer M en M1, M1 en M2, M2 en M3, M3 en M4 et M4 en M5 ou aller directement du point M au point M5. Cette propriété illustre la relation de Chasles lorsque le vecteur est défini à partir de la notion de translation. En effet, pour additionner deux vecteurs, on a recours à une composée de deux translations

La notion de composée de translations est fortement liée à la notion de somme de vecteurs, qu'elle la précède ou qu'elle en soit une conséquence.

La composée de deux translations de vecteur u → {\displaystyle {\vec {u}}} \vec{u} et v → {\displaystyle {\vec {v}}} {\vec {v}} est une translation de vecteur u → + v → {\displaystyle {\vec {u}}+{\vec {v}}} \vec{u}+\vec{v}. La translation de vecteur nul est l’identité. Ces propriétés confèrent à l’ensemble des translations muni de la loi de composition un statut de groupe commutatif isomorphe à l’ensemble des vecteurs du plan ou de l’espace.

Ce groupe est un sous-groupe du groupe des déplacements.

 

Une réflexion selon un axe de symétrie suivie d'une autre réflexion selon un deuxième axe de symétrie parallèle au premier est équivalent à une translation.

Une translation est aussi le résultat de la composée de deux réflexions selon des axes parallèles : si (d) et (d') sont deux droites parallèles et si R est un point de (d), la composée sd' o sd des réflexions d'axe (d) et (d') est une translation qui transforme R en son symétrique par rapport à (d').

Une translation peut aussi être obtenue en composant deux homothéties de rapports inverses et de centres différents, ou deux rotations planes d'angles opposés et de centres différents. Ces faits expliquent que l'on trouve les translations dans le groupe des homothéties-translations et dans celui des rotations-translations.

 


 

Généralisation à un espace affine

Article détaillé : espace affine.

Un espace affine peut être défini comme associé à un espace vectoriel. Quelle que soit alors la définition envisagée, la translation en est une composante principale.

Si on définit l'espace affine à l'aide d'une application φ, qui à chaque bipoint associe un vecteur, φ(AB)=u, la seconde propriété que doit vérifier φ est l'existence des translations : pour tout vecteur u, et tout point M, il existe un unique point M’tel que φ(MM’) = u. L'application qui associe M’ à M est appelée la translation de vecteur u

Si on définit l'espace affine à partir d'une loi externe qui, à chaque couple formé d'un point et d'un vecteur (A, u) associe un point B noté A + u, la translation de vecteur u est l'application qui, à M, associe le point M + u4.

L'ensemble des translations muni de la loi de composition interne est un groupe isomorphe à V muni de l'addition des vecteurs.

Les translations sont les applications affines dont l'application linéaire associée est l'identité dans V.

Mouvement de translation

 

Translation circulaire dans une grande roue. Il existe une translation permettant de passer de la position de la nacelle à un instant t1 à sa position à l'instant t2. La trajectoire du point d'attache est circulaire, et celle du bord inférieur droit de la nacelle(en rouge) lui est identique à une translation près. Les rayons de la roue, quant à eux, ont un mouvement de rotation.

En cinématique, un solide indéformable est en mouvement de translation si tout segment joignant deux points du solide reste parallèle à lui-même au cours du mouvement5.

La trajectoire du solide n'est pas nécessairement rectiligne, et peut être curviligne. Ainsi en est-il de la nacelle d'une grande roue, dont la trajectoire est circulaire, qui subit un mouvement de translation circulaire. Un mouvement de translation peut être considéré comme une succession de translations mathématiques infinitésimales. À chaque instant, chaque point du solide possède le même vecteur vitesse.

Pour deux instants t1 et t2, on peut définir une translation Tt1,t2 opérant de la manière suivante : pour tout point M du solide, dont la position en t1 est M1 et la position en t2 est M2, on a Tt1,t2(M1)=M2.

De plus tous les points du solide possèdent des trajectoires homologues, c'est-à-dire identiques à une translation près.

Expressions analytiques d’une translation

Coordonnées cartésiennes

Dans le plan, la translation de vecteur u → ( a , b ) {\displaystyle {\vec {u}}(a,b)} \vec{u}(a , b), transforme le point M(x, y) en M'(x', y') tel que

x' = x + a y' = y + b

Dans l’espace, la translation de vecteur u → ( a , b , c ) {\displaystyle {\vec {u}}(a,b,c)} \vec{u}(a , b , c), transforme le point M(x, y, z) en M'(x', y', z') tel que

x' = x + a y' = y + b z' = z + c

Plus généralement, dans un espace de dimension n, la translation de vecteur u → {\displaystyle {\vec {u}}} \vec{u} de coordonnées ( a i ) i ∈ [ 1 , n ] {\displaystyle (a_{i})_{i\in [1,n]}} (a_i)_{i \in [1, n]}, transforme le point M ( x i ) i ∈ [ 1 , n ] {\displaystyle M(x_{i})_{i\in [1,n]}} M(x_i)_{i \in [1,n]} en M ′ ( x i ′ ) i ∈ [ 1 , n ] {\displaystyle M'(x'_{i})_{i\in [1,n]}} M'(x'_i)_{i \in [1,n]} tel que

x i ′ = x i + a i {\displaystyle x'_{i}=x_{i}+a_{i}} x'_i   = x_i + a_i pour tout i de i = 1 à n

Expression complexe

Dans le plan complexe, la translation de vecteur u → {\displaystyle {\vec {u}}} \vec{u} d'affixe a (a complexe), transforme le point M(z) d'affixe z en M'(z') d'affixe z' tel que

z' = z + a

Coordonnées homogènes

En travaillant avec les coordonnées homogènes, on peut définir une matrice de translation :

Dans un espace affine de dimension n, la matrice de translation de vecteur u → ( a i ) i ∈ [ 1 , n ] {\displaystyle {\vec {u}}(a_{i})_{i\in [1,n]}} \vec{u} (a_i)_{i \in [1, n]} est une matrice de dimension n+1 définie par :

T v = [ 1 0 ⋯ 0 a 1 0 1 ⋯ 0 a 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 a n 0 0 ⋯ 0 1 ] . {\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0&a_{1}\\0&1&\cdots &0&a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&a_{n}\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}.\!} {\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0&a_{1}\\0&1&\cdots &0&a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&a_{n}\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}.\!}

L'écriture de la translation devient alors

T v M = [ 1 0 ⋯ 0 a 1 0 1 ⋯ 0 a 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 a n 0 0 ⋯ 0 1 ] [ x 1 x 2 ⋮ x n 1 ] = [ x 1 + a 1 x 2 + a 2 ⋮ x n + a n 1 ] = M ′ {\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0&a_{1}\\0&1&\cdots &0&a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&a_{n}\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{1}+a_{1}\\x_{2}+a_{2}\\\vdots \\x_{n}+a_{n}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {M'} } {\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0&a_{1}\\0&1&\cdots &0&a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&a_{n}\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{1}+a_{1}\\x_{2}+a_{2}\\\vdots \\x_{n}+a_{n}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {M'} }

Cette écriture permet de créer un isomorphisme entre les matrices n+1 de cette forme et l'ensemble des translations dans un espace de dimension n.

L'inverse d'une telle matrice s'obtient en changeant le sens du vecteur:

T v − 1 = T − v . {\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!} T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}} . \!

De même, le produit des matrices revient à faire une somme de vecteurs:

T u T v = T u + v . {\displaystyle T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }.\!} T_{\mathbf{u}}T_{\mathbf{v}} = T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}} . \!

Et puisque l'addition des vecteurs est commutative, le groupe multiplicatif de matrices ainsi créé est un groupe commutatif.

 

Une translation déplace tous les points d'un objet géométrique de la même distance, selon la même direction et dans le même sens. C'est-à-dire suivant un même vecteur.

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Il faudrait que je creuse...

Les créations de l'art humain, surtout dans le domaine technique, ayant atteint un très haut de gré de perfection ils n'ont jamais pu dépasser la nature.

Séminaire Grothendieck à l'ENS

Je ne peux pas encore le dire précisément, il faudra que je creuse, mais si je rapproche ce schéma de la définition d'un préfaisceau, la problématique naïve que j'expose à savoir le rapport entre un espace observé et l'espace Imaginaire construit pour le décrire, se traduit en bonnes mathématiques par une relation entre un Espace topologique et une Catégorie.

(source Alain Simon : http://www.entropologie.fr/2017/11/seminaire-grothendieck-a-l-ens.html)

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https://www.youtube.com/watch?v=Hdc2zNgJIpY&list=PL7PQQrQIFoe_T_9Fm0yX78s71WmCaTHTl

Fragonard, The Swing.jpg

A bientôt.

Amitié.

 

 

 

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