7 et cri : grande joie

1,4,2,8,5,7 c'est une suite de chiffres, qui la reconnaît ? Pour vous aider on est aujourd'hui le 7, nombre aux affinités étranges pour notre base 10 si familière. Pour les spécialistes ou les curieux, 142857 est cyclique, mais aussi un nombre de Kaprekar et un nombre Harshad (grande joie en sanskrit comme vous le diront tous les pédants)
Depuis un certain temps les hommes ordinaires comptent en base 10, encore que les geeks du genre Homo numerius se laissent aller parfois à l'hexadécimal, mais après tout les Sumériens préféraient paraît-il la base 60 survivant dans nos minutes et nos secondes, les Mayas la base 20, avec 20=homme dans leur langue
Et en base 10 le 7 les fascine, au point que si vous demandez à des gens de choisir un chiffre au hasard (suivant le public il peut être nécessaire de préciser "entre 0 et 9", le nombre de gens ignorant la différence entre un chiffre et un nombre est effarante, alors que personne ne confond une lettre avec un mot), vous obtiendrez une proportion étonnante de 7, parce que que 0, 1 ou 2 c'est trop facile, que 4, 6 ou 8 c'est pair, que 9 c'est trop maximal, que 5 c'est trop au milieu, bref seul le 3 ou le 7 semblent vraiment "au hasard".
Pour la symbolique du 7 on verra un autre jour, aujourd'hui c'est dimanche (7e jour et lendemain du shabbat qui veut dire 7 aussi) et ça nous entraînerait trop loin mais vous en trouverez sûrement vous-même.
La joie de partager en 7
Essayez avec une galette ou un gâteau, vous comprendrez pourquoi c'est plus facile d'avoir 4 ou 6 enfants que 5 à la maison.
Trouvée par hasard avec ma première calculatrice, la séquence 142857 est la période du développement en base 10 de 1/7. C'est ce qui explique un certain nombre de ses propriétés parfois présentées comme "magiques", la plus évidente étant 142857 x 7 = 999999, première affinité forte avec la base 10 : 10 puissance n moins 1, la frontière ici entre les 6 et les 7 (!) chiffres.
Donc
1/7 = 0,142857 142857 142857 ...
mais l'amusant comme avec les naissances est dans les multiples :
2/7 = 0,285714 285714 285714 ...
c'est la même suite de chiffres après permutation circulaire, et de même
3/7 = 0,428571 428571 428571 ...
4/7 = 0,571428 571428 571428 ...
5/7 = 0,714285 714285 714285 ...
6/7 = 0,857142 857142 857142 ...
Pour 7/7 vous avez le choix entre la banale représentation "1" de Monsieur tout-le-monde et la plus chic mais équivalente représentation à développement infini 0,999999 999999...
Il y a une belle représentation graphique sur www.142857.com (en voilà un nombre qu'il est classe pour avoir son propre nom de domaine !)
On peut poursuivre le cycle assez facilement, et là c'est l'enfance de l'art à démontrer à partir de ce qui précède :
142 857 x 8 = 1 142 856
On "retient" le premier chiffre pour l'ajouter au dernier, et hop le chat est retombé sur ses pattes.
142 857 x 9 = 1 285 713
même principe pour retrouver 285 714, et comme on va pas vous faire l'injure de la multiplication par 10 en base 10, voyons avec 11 :
142 857 x 11 = 1 571 427
et avec 12 :
142 857 x 12 = 1 714 284
À partir de 15 le premier chiffre est 2 mais le principe ne déroutera pas qui a réussi la démonstration précédente :
142 857 x 15 = 2 142 855
La dénomination "cyclique" commence à prendre un sens, non ?
7 important aussi
Pour la bonne bouche mentionnons la multiplication par 22 :
0,142 857 x 22 = 3,142854 aka 3,14 et quelque...
mais là inutile d'ajouter le 3 de tête au 4 de fin pour retrouver 7, observez juste comme les premières décimales ressemblent à un autre épouvantail mathématique : le cèlèbre Pi souvent remplacé par la fraction 22/7.
Ceux qui y voient les 22 lettres de l'alphabet hébreu en cercle à diviser par les 7 cycles sacrés ont sans doute trop lu la Kabbale. Pour l'ennéagramme de Gurdjieff et le nonagramme j'ai des doutes aussi.
Les tricheurs (y compris Wikipedia) mentionnent des divisions
142 857 / 2 = 71 428,5
142 857 / 5 = 28 571,4
142 857 / 4 = 35714.25 (premier chiffre à "retenir" pour l'ajouter à la fin, vous savez maintenant)
mais dans le monde du cyclique en base 10, chacun aura démasqué respectivement une multiplication par 5, par 2 ou par 25, donc déjà traitée.
Ceux qui veulent rigoler avec plus de chiffres pourront s'amuser avec les nombres cycliques suivants, aussi appelés "phénix" parce qu'on a beau les brûler en les mulitpliant ou en les divisant l'ADN reprend toujours le dessus et de leurs cendres naissent d'autres matheux toujours aussi geeks ou hypermnésiques.
Les premiers nombres cycliques sont donc les périodes de 1/17, 1/19, 1/23, 1/29, 1/47, 1/59 et 1/61, chacune ayant comme vous l'avez deviné n-1 chiffres, soit 16 à 60.
Ces nombres sont bien entendu premiers (non pas de la classe !), mais ce n'est pas suffisant, ils doivent être nombres premiers longs ou "full reptend" dans la langue de Shakespeare ou de Feynman, selon vos préférences littéraires. Sept ne se contente pas d'être long, il est aussi chanceux, sûr, jumeau de 5, cousin de 11 et 3 et super-singulier, sans parler de ses rapports avec Mersenne, Carol, Woodall et autres.
Remarquons néanmoins qu'en plus de son élégante simplicité, 1/7 est le seul à s'écrire sans 0 initial, et la revanche de l'homme ordinaire sur le geek c'est que l'hexadécimal étant un carré parfait (et même une puissance paire de 2, c'est étudié pour !) il n'existe pas de nombres cycliques dans cette base, qui devient tout de suite moins prestigieuse n'est-ce pas...
Et les additions ?
Moins intuitif mais qui saura le démontrer ?
142 + 857 = 999
14 + 28 + 57 = 99
encore une attraction pour les 10 puissance n - 1 qui sont aussi des nombres de Kaprekar
Pour les amateurs de Sudoku ou de carré magique :
1    4    2    8    5    7    =    27
2    8    5    7    1    4    =    27
4    2    8    5    7    1    =    27
5    7    1    4    2    8    =    27
7    1    4    2    8    5    =    27
8    5    7    1    4    2    =    27
==    ==    ==    ==    ==    ==
27    27    27    27    27    27
Bon d'accord quand on l'écrit avec grande joie sous la forme
3 x 3 x 3 x 11 x 13 x 37 = 27 x 11 x 13 x37
ça perd de son mystère, mais ça reste utile dans les dîners en ville.
Si vous voulez vraiment briller vous pouvez faire remarquer que 2 est d'ordre 6 modulo 9, et que les restes sont justement les 6 chiffres de notre séquence vedette :
    2^1 mod 9 = 2
    2^2 mod 9 = 4
    2^3 mod 9 = 8
    2^4 mod 9 = 7
    2^5 mod 9 = 5
    2^6 mod 9 = 1
Pour jouer au loto c'est bon mais pour le double tiercé c'est dans le désordre et je ne sais pas les remettre dans l'ordre, si quelqu'un a une explication (non pas l'ennéagramme !)...
Plus fort (qui le fait sans calculatrice ?) multiplication et addition :
142857 x 142857 = 20 408 122 449
Ouais bof et alors ?
Regardez bien le lapin sortir du chapeau :
20 408 + 122 449 = 142 857
et il reste un foulard au fond :
20 + 408 + 122 + 449 = 999
Ah oui on vous avait dit au début que c'est un nombre de Kaprekar !
comme 99, 999, 999, 703, 5050 (le célèbre fifty-fifty), 7272 ou 7777 et bien d'autres
Moins impressionnant parce que plus difficile à suivre en puissance 4 :
    142 857^4 = 416 491 461 893 377 757 601
    416 + 491 461 + 893 377 + 757 601 = 2142855
    (je retiens 2 en tête et je l'ajoute à la fin)
    = 142 857 × 15
Au fait 142 857 est Harshad et source de grande joie parce qu'il est divisible par la somme de ses chiffres : 142 857 / (1+4+2+8+5+7) = 5291
Pour ceux qui voudraient le reconnaître sous ses autres déguisements, 142 857 c'est en binaire 100010111000001001 et en hexa 22e09
C'était notre grande séquence nostalgie "du temps où on s'amusait avec une calculatrice", maintenant
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