Le chant d'une cigale enrouée.

INTERMEDE MATHEMATIQUE EN LA MINEUR

 

Je vous convie à une activité particulièrement silencieuse, dans la mesure où le silence n'existe pas. En terme de bruit, c'est un bouillonement intellectuel qui se traduit par le glissement d'un crayon sur un feuille de papier. J'insiste; un crayon noir, bien taillé, et du papier épais, pas trop lisse. Toute la poésie du moment sera contenu dans ce chant de cigale enrouée.

 

Alors voilà, allumons la mèche: un problème d'arithmétique qui m'a été posé, il y a trois ans. Ca y est, j'en vois qui s'en vont en grognant: "tout ce qu'il veut mais pas des maths". Attendez un peu, laissez-vous une chance. C'est un problème qui n'exige quasiment aucune connaissance préalable pour s'y attaquer.

Quels sont les nombres entiers dont le carré se termine en écriture par le nombre lui-même ?

Exemple: le nombre 25 satisfait à ce critère car 25² = 25 x 25 = 625 qui se termine par 25.

 

L'ami qui m'a posé la question a fait la première partie du travail de mathématicien: poser la question. Déjà un gros boulot, car je n'avais jamais rencontré cette question dans la littérature.

 

Si le coeur vous en dit, entreprenez le deuxième travail: emmettre des conjectures. Pour cela, testez les nombres, triturez les... les nombres à un chiffre... à deux chiffres... etc... et vous verrez apparaitre des conditions nécessaires (et suffisantes ?) sur les nombres qui satisfont à la propriété (qu'on peut appeler P si on commence à mathématiser un petit peu).

 

Le travail suivant consiste à faire les démonstrations qui valideront (ou non) les conjectures: on peut aller assez loin avec des connaissances du collège (notament l'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b²). Pour aller au bout de la démonstration, il faut connaître quelques théorèmes d'arithmétique qui sont étudiés en première année de fac, à moins que quelqu'un me contredise en trouvant un cheminement différent du mien)

 

Enfin, il y a ceux, prêts à s'arracher les cheveux pour les couper en quatre, qui pourrait tenter de généraliser le problème à toutes les bases. Explication: on a pris l'habitude de compter en base 10 parce que nous écrivons les nombres avec10 chiffres. La question peut se poser en base 2 (mode binaire des ordinateurs), en base 3... en base 9, en base 11,.... en base n.

 

Mais pourquoi ?

Parce que, pendant qu'on pense aux maths, on ne pense plus à son compte titre et parce que c'est inutile et c'est bien plus beau lorque c'est inutile.

Et surtout, n'oubliez pas le chant de la cigale enrouée.

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