1/la vitesse moyenne est de 100 km/h.
2/oui, il existe toujours un intervalle de temps de 30 min pendant lequel la voiture a parcouru exactement 50 km.
preuve : on note x(t) la distance parcourue entre midi et midi + t ; on a x(0) = 0 et x(1) = 100 ; on pose y(t) = x(t+ ½ ) - x(t) ; y(0) = x( ½ ) ; y( ½ ) = 100 -x( ½ ) ;
si x( ½ ) = 50 alors l’intervalle 0 < t < ½ convient ;
si x (½ ) > 50 alors y(0) > 50 et y( ½ ) < 50 ; y(t) est une fonction continue car x(t) en est une donc y(t) prend toutes les valeurs entre y(0) et y( ½ ) donc il existe t° entre 0 et ½ tel que y(t°) = 50 ; c’est à dire x(t° + ½ ) - x(t°) = 50 donc l’intervalle t° < t < t° + ½ convient ;
si x( ½ ) < 50 le raisonnement précédent s’applique encore.
3/ça dépend de comment varie la vitesse instantanée ; voici un exemple pour lequel il n’existe pas d’intervalle de 45 min pendant lequel la distance parcourue est de 75 km ;
x(t) = 100 ( (2π)⁻¹ sin (2π t) + t ) ;
x(t + ¾ ) - x(t) = 100 (2π)⁻¹ ( sin (2π t + 3π/2) - sin(2π t) ) + 75 ;
x(t° + ¾ ) - x(t°) = 75 signifie sin (2π t° + 3π/2) - sin(2π t°) = 0 ;
donc cos(2π t°) + sin(2π t°) = 0 donc cos(2π t° -π/4) = 0 donc 2π t° -π/4 = ±π/2 ;
c’est à dire t° = - ⅛ ou ⅜ ;
t° < 0 ne convient pas ;
t° = ⅜ ne convient pas non plus car ⅜ + ¾ > 1