à un jet de pierre, j’ai vu la lumière

concernant la lumière, pour toute courbe paramétrée  X(u), Y(u) partant de A et arrivant en B, on définit le chemin optique par 

Λ = ∫  n(X,Y) sqrt((X’)²+(Y’)²) du

où n est l’indice de réfraction et où l’intégration est réalisée entre uᴀ et uʙ ; le principe de Fermat s’énonce ainsi :  pour tout trajet partant de A et arrivant en B, celui de la lumière minimise Λ ; ce principe rend compte de la réflexion sur un miroir, de la réfraction lorsque le rayon passe de l’air à l’eau mais aussi des mirages dus à une diminution de l’indice de réfraction à proximité du sol qui fait croire à l’observateur qu’il regarde le sol alors qu’il voit le ciel … 

revenons-en à la pierre et rappelons ici les équations de Newton :

notons x la coordonnée horizontale et y la coordonnée verticale ;

m x’’ = 0 , m y’’ = - m g ; x’’ et y’’ sont les composantes de l’accélération, m est la masse de la pierre et g est l’accélération de pesanteur ;

ces équations et les conditions initiales déterminent la trajectoire de la pierre ; c’est une parabole ;

supposons connus le point de départ de la pierre, noté A et le point d’arrivée, noté B ;

pour tout chemin X(t), Y(t) partant de A et arrivant en B, 

notons ℓ(t) = (½) m ( (X’(t))² + (Y’(t))² ) - m g Y(t) ; ℓ(t) s’appelle le Lagrangien ; soit L(t) une primitive de ℓ(t) ;

notons α(X,Y) = L(tʙ) - L(tᴀ) ; α s’appelle l’action ;

nous allons montrer que parmi tous les chemins partant de A et arrivant en B, la trajectoire de la pierre minimise α ; c’est le principe de moindre action appelé aussi principe de Maupertuis ; pour cela, écrivons X, Y sous la forme x + ξ, y + υ ; puisque tous les chemins considérés partent de A et arrivent en B, les fonctions ξ et υ valent 0 en A et en B ;

α(X,Y) = ∫  ( (½) m ( (x’)² + 2 x’ξ’ + (ξ’)² + (y’)² + 2 y’υ’ + (υ’)² ) - m g ( y + υ  ) ) dt où l’intégration est réalisée entre les instants tᴀ et tʙ ;

nous déduisons α(X,Y) = α(x,y) + ∫  ( (½) m ( (ξ’)² + (υ’)² ) + m (x’ξ’ + y’υ’) - m g  υ  ) dt ;

intégrons par parties ∫  m (x’ξ’ + y’υ’) dt :

∫  m (x’ξ’ + y’υ’) dt = [m (x’ξ + y’υ)] - ∫  m (x’’ξ + y’’υ) dt ;

nous savons que les fonctions ξ et υ valent 0 en A et en B donc  [m (x’ξ + y’υ)]  = 0 ;

nous savons que m x’’ = 0 , m y’’ = - m g  donc - ∫  m (x’’ξ + y’’υ) dt = ∫  m g υ dt ;

nous déduisons que α(X,Y) = α(x,y) +  ∫  (½) m ( (ξ’)² + (υ’)² )  dt ;

comme (½) m ( (ξ’)² + (υ’)² ) ≥ 0, nous déduisons α(X,Y) ≥ α(x,y) ;

ainsi pour tout chemin X(t),Y(t) partant de A et arrivant en B, l’action α(X,Y) est supérieure ou égale à l’action calculée pour la trajectoire de la pierre