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À la fin du XIXème siècle, un courant nouveau dans la logique, tente de repenser, dans une optique philosophique, l'ensemble de l'arithmétique : le « logicisme. » Jusque-là, on en était toujours, à peu de chose près, à « Socrate est mortel, Socrate est un homme, tous les hommes sont mortels » et à « soit un énoncé est vrai, soit sa négation l'est. » À la tête de ce courant moderne, Frege, dont le projet était de déduire les mathématiques de lois logiques universelles. Mais c'était sans compter sur Russell et son paradoxe, qui balayèrent tous ces efforts. Voici ce paradoxe :
Considérons la propriété, pour un ensemble, d'être élément de soi-même. Comme, par exemple, l'ensemble de tous les ensembles qui contiennent plus de trois éléments, qui contient lui même plus de trois éléments. Notons P la propriété pour un ensemble de ne pas être élément de soi-même. Et considérons à présent l'ensemble des ensembles qui satisfont P.
Cet ensemble est-il élément de lui-même ?
Et bien, s'il l'est, alors il ne l'est pas (car il satisfait P). Et, s'il ne l'est pas, alors il l'est (car il ne satisfait pas P.)
Et voilà. La vie de Frege était foutue....
C'est logique, non ?
Santangelo