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Billet de blog 3 janv. 2015

Mes réflexions sur l'enseignement (Vive l'abstraction !)

Au moment où Mediapart consacre des articles sur le mathématicien Grothendieck, et souligne à cette occasion la puissance de l’abstraction, je m’interroge sur la direction prise par l’enseignement des mathématiques, tant au lycée que dans les premières années du supérieur.

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Au moment où Mediapart consacre des articles sur le mathématicien Grothendieck, et souligne à cette occasion la puissance de l’abstraction, je m’interroge sur la direction prise par l’enseignement des mathématiques, tant au lycée que dans les premières années du supérieur.

En effet, l’abstraction a presque totalement disparu des programmes du secondaire et n’est même plus « à la mode » en classes préparatoires, hormis dans les rares classes étoilées qui préparent leurs étudiants au concours de l’X ou des ENS. C’est même une démarche contraire que l’on nous demande d’effectuer puisque les programmes préconisent un recours massif aux exemples, aux figures, etc… bref à tout ce qui fait référence à des cas particuliers, et non à l’abstraction. Certes, celle-ci est encore enseignée, mais du bout des doigts, avec modération, pour ne pas traumatiser nos chers petits.

Il y a là une profonde incohérence. Comment peut-on à la fois célébrer l’utilité de l’abstraction et nous encourager à en faire le moins possible ?

J’étais en classe de sixième en 1974. Autant dire que j’ai été formé à ce que l’on appelait alors les « mathématiques modernes » ; celles qui décontenançaient nos parents. Il était question d’ensembles, de fonctions, de bijections, de relations d’équivalence, etc… bref, la base même de l’abstraction. Evidemment, cette première approche était très simple, et les exemples nombreux, mais cela permettait de commencer à appréhender des « outils universels » qui pouvaient alors être progressivement utilisés.

Est-ce vraiment trop demander aux élèves ? Voyons voir. La notion d’ensemble est d’usage courant et ne nécessite aucune définition mathématique; du moins en première approche. Prenons alors la notion de bijection. Certains qui me liront ne connaitront pas le mot, d’autres en auront un vague souvenir et feront une moue de dégoût. Et pourtant, même un enfant de cinq ans serait à même de comprendre cette notion extrêmement féconde !

Rappelons donc ce qu’est une bijection entre deux ensembles, notés E et F. C’est une correspondance, en mathématiques on dirait plutôt fonction mais c’est la même idée, entre les éléments de E et ceux de F telle que chaque élément de E soit associé à un unique élément de F et réciproquement. Difficile à comprendre ? Mais non, voyons ! Si vous êtes six à table et que l’on apporte une galette, combien faut-il faire de parts pour que chacun en ait une et qu’il n’y ait pas de reste ? Tout le monde le sait, six aussi. Maintenant, les six parts peuvent être attribuées dans n’importe quel ordre aux six convives. Dès que chacun est servi, il s’établit une bijection entre l’ensemble des convives et l’ensemble des parts. Là, même les plus réfractaires aux mathématiques seront bien obligés de reconnaître que c’est très abordable.

Mais en quoi est-ce que cette notion, qui semble si banale, est-elle fondamentale ? Eh bien, on s’aperçoit assez intuitivement que lorsque les deux ensembles E et F sont finis, on ne peut construire une bijection entre les deux que si, et seulement si, les deux ensembles ont le même nombre d’éléments. On peut alors s’apercevoir que deux ensembles ont le même nombre d’éléments sans savoir compter !

Un berger fait sortir ses moutons le matin, et les fait rentrer le soir. Il semble important pour lui de s’assurer que tous les moutons sont présents. Oui, vous allez me dire qu’il n’a qu’à les compter, mais, petit problème, il ne sait pas compter. Alors comment faire ? C’est très simple. Il prend un sac et un tas de petits cailloux. Le matin, à chaque fois qu’un mouton sort de la bergerie, il met un caillou dans le sac, et le soir, à chaque fois qu’un mouton rentre au bercail, il sort un caillou du sac. Si le sac est vide à la fin de l’opération, il sait qu’ils sont tous là… car il a mis en bijection l’ensemble des moutons et l’ensemble des cailloux. S’il lui reste des cailloux, il manque des moutons. Pas mal, non ?

Passons maintenant aux ensembles infinis, comme l’ensemble des entiers 0, 1, 2, etc… Parmi ces entiers, il y a ceux qui sont pairs et ceux qui sont impairs, moitié-moitié. Enfin, intuitivement seulement, parce qu’il est possible de construire une bijection entre l’ensemble de tous les entiers et celui des entiers pairs, par la correspondance n à 2n. Ainsi, à 1 on associe 2, à 2 on associe 4, à 17 on associe 34, ainsi de suite. C’est bien une bijection. Mais alors, on devrait en déduire qu’il y a autant d’entiers que d’entiers pairs ! Cela défie l’intuition. D’un autre côté, nous avons à portée de main la distinction entre ensemble fini et ensemble infini. Un ensemble E sera dit infini s’il existe une bijection entre E et un de ces sous-ensembles, sinon il sera dit fini.

Allons un peu plus loin. Tous les ensembles ayant cinq éléments sont en bijection entre eux ; autrement dit tous ces ensembles sont associés à un nombre, ici 5. Et si l’on faisait de même avec les ensembles infinis ? Si l’on associait un « nombre » à tous les ensembles infinis qui sont en bijection ? C’est très exactement ce qu’a proposé Cantor quand il a décidé d’explorer l’infini, ou plutôt les infinis, car il s’est aperçu assez vite que certains ensembles infinis ne pouvaient pas être mis en bijection ; notamment, et c’est l’exemple le plus célèbre, l’ensemble des entiers N et l’ensemble des réels R. Les entiers étant aussi des réels, il y avait donc un infini, celui de R, strictement plus grand que celui de N ! Et pouvait-on trouver encore plus grand, toujours plus grand ? Les infinis formaient-ils eux-mêmes une suite sans fin comme les entiers ? Et étaient-ils « séparés », comme les entiers ? N’y avait-il pas un infini strictement compris entre celui de N et celui de R ?

 Oui, nous sommes maintenant bien loin de nos convives attablés devant une galette, mais toujours avec cette « simple » notion de bijection. Vous imaginez tout ce que l’on peut étudier, toutes les questions que l’on peut se poser ? Evidemment, des esprits chagrins vont me demander à quoi ça sert, hein ? D’abord, je les renvoie à un de mes précédents billets. Ensuite, je ne résiste pas à la tentation de mentionner que les travaux sur l’infini ont fait apparaître des paradoxes, obligeant ainsi les mathématiciens à donner une définition précise d’un ensemble, car la définition courante était trop vaste… bref à éliminer des ensembles, au sens courant, de la théorie mathématique. Cela a aussi entrainé des controverses ; notamment sur le fameux « axiome du choix », résultat proprement indécidable dans la théorie de base. Fallait-il alors le rajouter dans les axiomes, comme son nom semblerait l’indiquer ? Mais ce résultat n’étant pas intuitif, et loin de là, on faisait perdre alors à ces axiomes leur sens premier de « vérité évidente ». Belle empoignade, quasiment philosophique, sur la notion de vérité !

Pour conclure, l’abstraction n’a rien de compliqué. Il s’agit simplement de mettre un mot sur une notion, pour la reconnaître ensuite dans différentes situations. Mais n’est-ce pas le propre des mots ? Apprendre le mot « cheval », permet de qualifier de « cheval » tout animal en ayant les caractéristiques, indépendamment de l’animal en question. Certes, chaque cheval est unique, mais son nom est général. Quoi de plus naturel ?

Il est urgent de réhabiliter l’abstraction en mathématiques et de ne pas en détourner les élèves au profit d’une simplification à outrance qui ne leur permet plus d’avoir une vision générale, un cadre pour le raisonnement. Alors, Madame le Ministre, vous qui avez, lors de vos vœux, rendu hommage à nos Nobel et autres médailles Fields, et glorifié l’excellence de la recherche française, donnez-vous les moyens de nourrir cette recherche au lieu de nous « vendre » un enseignement numérique abrutissant.

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