Implication, loi, théorème, réciproque, contraposée.

Introduction à Pythagore et Thalès, introduction aux maths, en général. Introduction à la pensée, en vrai. Introduction à la critique de nos supérieurs hiérarchiques, de nos chefs.

Théorème. Théorème à réciproque fausse. Théorème à réciproque vraie.

Une implication, c’est quand on peut déduire une assertion d’une autre assertion, grâce à un théorème, ou grâce à une loi. L’assertion, pour faire simple, c’est une phrase ou une proposition, ou un groupe de phrases ou de propositions.

Exemples :

1) Helena est italienne, donc elle est européenne.
2) Le kangourou est un marsupial, c’est donc un mammifère.

Dans ces deux exemples, l’implication concerne la théorie des ensembles : Si a appartient à E, et que E est inclus dans F, alors, forcément, a appartient à F. L’implication résulte d’une loi, toujours vraie :

1) L’Italie est en Europe. Une italienne est donc européenne.
En langage des ensembles, on écrit ceci :
comme  I   ⊂   E , on a forcément ceci :  h  ∈  I   =>   h  ∈  E
2) Les marsupiaux sont des mammifères.

3) Un ion est chargé électriquement, son déplacement constitue donc un courant électrique.
Ici, l’implication résulte d’une loi physique, constatée, décryptée, admise, puis quantifiée, par Sapiens (primate, mammifère). Un courant électrique est précisément le déplacement d’une particule chargée électriquement.

4) Tu conduis comme un pied, donc je te prête plus ma moto.
Ici, il s’agit d’un autre univers, celui du bon sens, humain toujours. On cherche à protéger ses biens, et aussi la vie de ses proches. Si quelqu’un ne sait pas conduire, on ne lui prête pas de véhicule.

Pour résumer, voici le schéma d’une loi :

{hypothèses} => {conclusions}

Chacun des exemples plus haut, ne comporte qu'une hypothèse et une conclusion.
Au collège, on écrit, de façon un peu moins abstraite :

si {hypothèses}, alors {conclusions}

Ce qu’on appelle la réciproque d’un théorème est un autre théorème, qui consiste à mettre le premier à l’envers.
Voyons les réciproques des quatre théorèmes ci-dessus.

1) Une Européenne est italienne.
2) Un mammifère est un marsupial.
3) Un courant électrique est formé par le déplacement d’un ion.
4) Je te prête plus mon véhicule, donc tu conduis comme un pied.

Ces quatre implications sont fausses ! Ce ne sont pas des lois. Pas des théorèmes. Pour l’être, il faudrait qu’elles soient toujours vraies (ce qui est bien le cas des lois directes dont nous sommes partis).

1) Ursula est bien européenne, mais allemande !
2) Olivier Véran n’est pas un marsupial.
3) Un courant électrique peut consister en déplacement d’électrons.
4) Tu sais conduire, mais je te prête pas ma moto parce que je me suis planté avec et qu’elle est sur le marbre.

Voici pour conclure ce paragraphe deux autres lois, vraies, dont les réciproques sont fausses :
5) Si x est plus petit que 4, il est plus petit que 5.
6) Si l’entier n est multiple de 6, il est multiple de 3.

 

Voici à présent des lois dont la réciproque est vraie :


circonscrit
7) Si un point est situé sur la médiatrice d’un segment, il se trouve à égale distance des extrémités du segments.
En effet, cette propriété de la médiatrice en est caractéristique : si un point est situé à égale distance des extrémités d’un segment, il est forcément sur la médiatrice du segment.
8) Le dioxyde de carbone trouble l’eau de chaux. C’est caractéristique du CO2 : seul le CO2 trouble l’eau de chaux.

Exercices : dites si ces implications, qui sont toutes vraies, ont leurs réciproques vraies :

9) Je suis fauché, donc t’auras pas ton vélo ce mois-ci.
10) L’assassin a volé du poison, il a donc prémédité son coup.
11) Si un point A est situé à 5 cm d’un point B, alors il est sur le cercle de centre B et de rayon 5 cm.
12) Si un quadrilatère est un carré, alors son périmètre est égal à 4 fois la longueur de son côté.
13) Si mes deux notes en maths sont 8/20 et 14/20, ma moyenne est égale à 11/20.
14) Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.

Que sa réciproque soit vraie ou fausse, un théorème, une loi, a ce qu’on appelle sa contraposée1. La contraposée est juste une façon de dire autrement le théorème. Elle en est consubstantielle, comme disait Montaigne. Elle est sa reformulation logique. Une loi induit sa contraposée, qui induit à son tour la loi dont elle est contraposée.

Voyons de quoi il s’agit :

1) Si Helena n’est pas européenne, elle est pas italienne !
2) Si un animal n’est pas mammifère, il ne risque pas d’être marsupial.
3) Si le déplacement de cet objet ne crée pas de courant électrique, c’est que l’objet n’est pas chargé.
etc.

La contraposée de cette loi :  si la chose N°1 est vraie, alors la chose N°2 est vraie,
est cette autre version de la même loi : si la chose N°2 n’est pas vraie, alors la chose N°1 n’est pas vraie.

En langage logique, cela s’écrit ainsi : si (A => B), alors (non B => non A)

Exercice : écrivez les contraposées des 11 autres lois évoquées, et jugez de leur véracité.

Note 1 : Qu’une fine équipe de crânes d’œufs a fait disparaître un temps au profit du mot « conséquence », ce qui est stupide, aussi bien sur le plan logique que sur le plan pédagogique.Il faut être ignare et sot pour confondre ainsi les notions de contraposée et de conséquence. Car il y a entre les causes et les conséquences, asymétrie. La pluie peut provoquer la crue, la crue ne provoquera jamais de pluie.

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