Gödel, le génie, la folie, la vie

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Le danger réel n'est pas que les ordinateurs commencent à penser comme les humains,
mais que les humains commencent à penser comme des ordinateurs.

Sydney Harris

Gödel fut un des esprits les plus brillants du XX° siècle, un logicien et un mathématicien d’une acuité d’esprit exceptionnelle. C’était aussi un homme marqué par le malheur, par l’exil et par les persécutions réelles ou imaginaires. Deux livres donnent à le découvrir : un roman d’une sensibilité exacerbée qui fait de lui un portrait sensible d’un grand esprit aux petites faiblesses, vue par son épouse après son décès et un autre qui se penche plus directement sur les enjeux intellectuels posés par Gödel, entre Génie et Folie. Mais d’abord un petit rappel mathématique sur la principale découverte de Kurt Gödel, le fameux « théorème d’incomplétude », qui donna lieu à tant d’interprétations controversées.

Le théorème d’incomplétude, et ses fortunes successives

En mathématiques, les noms sont arbitraires. Libre à chacun d'appeler un opérateur auto-adjoint un "éléphant" et une décomposition spectrale une "trompe". On peut alors démontrer un théorème suivant lequel "tout éléphant a une trompe". Mais on n'a pas le droit de laisser croire que ce résultat a quelque chose à voir avec de gros animaux gris.

Gerald Sussman

Le théorème d’incomplétude est la découverte la plus importante de Kurt Gödel, et celle qui est interprétée de la façon la plus fantaisiste (ce qui a été démontré entre autre dans « impostures intellectuelles » de Sokal et Bricmond, ou ils citent des interprétations parfaitement fantaisistes par Jacques Lacan, Régis Debray et Paul Virillo) Mais la difficulté ne vient pas comme le pensent Sokal et Bricmond d’une « imposture intellectuelle » de penseurs venus de la « philosophie française » ou des sciences humaines, mais viennent des ambigüités de la « logique » elle-même, partagée entre mathématique et philosophie, sans compter des ambigüités de Kurt Gödel lui-même !

Premier théorème d’incomplétude. — Si T est une théorie du premier ordre cohérente, récursivement axiomatisable et contenant l’arithmétique de Robinson (PA−), alors T est incomplète, en ce sens qu’il existe une formule close G dans le langage de T telle qu’aucune des formules G et ¬G n’est conséquence des axiomes de T.

Second théorème d’incomplétude. — Si T est une théorie du premier ordre cohérente, récursivement axiomatisable et contenant l’arithmétique de Peano (PA), alors la formule « ConsT » (qui dans le langage de T exprime la cohérence de la théorie T ) n’est pas une conséquence des axiomes de T .

Ce théorème important prend place dans la longue tentative de rendre « cohérent » les mathématiques, suite a la « crise des fondements » qui secoue les mathématiques au début du XX siècle, ou plusieurs mathématiciens proposent des tentatives d’unification et de formalisation des mathématiques. Trois écoles se disputent sur l’approche adéquate permettant d’édicter des règles simples, cohérentes et  non contingentes : les logiciens autour de Bertrand Russel, les formalistes regroupés autour de David Hilbert et les intuitionnistes menés par Brouwer Le théorème de Kurt Gödel montre les limites de l’approche formaliste menée par David Hilbert (qui jusque là remporte la mise) Elle a des conséquences directes sur la question de la « calculabilité » qui a elle aussi une importance décisive à cette période, d’autant qu’elle est associée à l’informatique naissante. D’ailleurs c’est deux « amis » de Kurt Gödel qui vont être à l’origine de toutes les formalisations de cette discipline : Alan Turing, dont nous avons déjà parlé, créateur de la notion extrêmement importante des « machines de Turing » qui formalisent les calculs possibles sur un calculateur électronique et John Van Neumann, qui va fixer l’architecture interne d’un calculateur électronique (jusqu'à nos jours, tout ordinateur repose sur cette architecture)

Mais il serait absurde de limiter l’importance du théorème d’incomplétude à la seule logique « formelle » espérée par Hilbert. D’autant que le premier qui chercha à étendre le domaine d’application de ce théorème au-delà de la logique fut Gödel lui-même. Dans des écrits qu’il ne communiqua qu’a sa mort (il avait peur du regard des autres, sans doute pas à tord) il fixait a ses travaux logiques l’objectif de « prouver l’existence des anges et des démons ». Autrement dit, les spéculations extra-logiques de Gödel que celui-ci, soit par crainte de « l’esprit du temps », soit par insatisfaction quant aux résultats atteints, préféra garder pour soi mais ne détruisit pas non plus, laissant à la postérité un héritage embarrassant, paraissent confiner à la folie : croyance aux démons hantant les bois environnant Princeton, mais aussi à la télépathie, voire aux doubles et aux voyages dans le temps (au nom de la théorie de la relativité : son ami Einstein semble d’ailleurs avoir pris au sérieux cette déduction inattendue)

On peut penser qu’a coté de ces divagations, celles proposées par Régis Debray étaient quand même d’une construction logique sérieuse. Quand il parle de la fin de tous les « grands ensembles idéologiques » bâtis sur une logique « implacable » et une prétention a la scientificité et qu’il écrit : « Ce secret a la forme d'une loi logique, généralisation du théorème de Gödel : il n'y a pas de système organisé sans clôture, et aucun système ne peut se clore à l'aide des seuls éléments intérieurs au système ». Il reste dans une logique tout à fait « normale ». La logique n’appartient pas qu’aux mathématiciens, puisqu’au départ, il s’agit d’un département de la philosophie. Il est donc assez normal que de nombreux « philosophes » se saisissent de cet énoncé. 

D’autant plus que   l’auteur lui-même ne cache pas son gout pour la philosophie ! Kurt Gödel va en effet passer les 49 dernières années de sa vie à étudier les philosophes, Husserl en particulier, et tenter de proposer un système de propositions « philosophiques » cohérentes,  de même portée que la tentative de Hilbert. S’il s’intéresse à la phénoménologie, ce n’est pas uniquement qu’il s’agit de la « philosophie à la mode » (défendue en France par Sartre et Merleau-Ponty) mais aussi parce que les travaux et la sensibilité d’Husserl répondent à ses préoccupations propre

Mathématicien de formation, Husserl s'intéresse d'abord à la philosophie des sciences, notamment à partir de la question des objets mathématiques. Puis, frappé par les rapports entre logique et mathématique, il en vient à étudier leur fondement commun. Enfin, à la manière de René Descartes, dont il revendique le projet, Husserl cherche à refonder la totalité des sciences à partir d'une expérience indubitable (ou apodictique). « Avec lui, la philosophie change totalement d'allure, et passe radicalement de l'objectivisme naïf au subjectivisme transcendantal »2. Il veut cependant radicaliser cette expérience3. Husserl tente de refonder l'ensemble des sciences et de la philosophie. Pour constituer une philosophie comme science rigoureuse, Husserl souhaite trouver : un fondement absolu, apodictique ;

 « Quiconque veut vraiment devenir philosophe devra « une fois dans sa vie » se replier sur soi-même et, au-dedans de soi, tenter de renverser toutes les sciences admises jusqu'ici et tenter de les reconstruire. » Cette citation de Husserl, Kurt Gödel s’en fera une véritable règle de vie…

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La mathématique et la preuve de l’existence des anges 

Soit les mathématiques sont trop grandes pour l'esprit humain, soit l'esprit humain est plus qu'une machine.

Kurt Gödel

Kurt Gödel croyait à l’existence des anges et des démons. Le génie de la mathématique selon lui réclame des anges. Les anges ont à la fois un coté fortement « platonicien » (ils ne sont plus régis par des désirs et des besoins terrestres) mais aussi leur esprit est plus que le notre en corrélation avec la grâce divine. Or justement, Gödel, fortement déiste, pense qu’il y a « autre chose » qu’une pensée purement « mécanique » telle que la « machine de turing » la modélise.

Le théorème de Gödel nous renseigne-t-il, d'abord et avant tout, sur les limites de l'axiomatisation, d'une partie de l'arithmétique puis, plus généralement, de tout système formel axiomatisé ? Les axiomes de l'arithmétique sont essentiellement incomplets, toutes les vérités arithmétiques ne peuvent donc être obtenues en les déduisant formellement à partir des axiomes de l'arithmétique. Ou bien le sujet se trouve-t-il, également, mis en jeu ? Comme si - la comparaison est osée, mais elle n'est pas déplacée- la distinction, conceptuellement très claire, entre mathématique et métamathématique, trouvait son homologue dans une sorte de scission, interne au sujet, entre un sujet mathématicien et un sujet méta mathématicien.

Mais ce grand esprit croit également aux diables et à l’esprit du mal. C’est aussi à une époque ou cette croyance n’a rien de saugrenu, ou la catastrophe permanente menace. Celle ou il est chassé de la vienne aux cafés bavards pour se retrouver à Princeton avec les meilleurs esprits de l’époque surveillé comme le : lait sur le feu par le FBI omniprésent.

Le livre « les démons de Gödel » revient sur cette « part maudite » de l’œuvre de Gödel, a la fois pour rappeler que l’homme était soumis a de multiples sollicitations psychiques, que son comportement était très souvent irrationnel. Était-il fou, au sens le plus commun du terme.  Pierre Cassou-Noguès rejette cette explication trop simple : « Je n’affirme pas, écrit-il, que Gödel est fou, ce qui supposerait que je puisse expliquer ce qu’est être fou et ce qu’est la folie... Les symptômes en eux-mêmes ne m’intéressent pas, pas plus que le diagnostic qu’on pourrait faire : paranoïa, névrose obsessionnelle, etc. Ce qui m’intéresse, c’est la façon dont la « folie » de Gödel s’exprime dans ses notes philosophiques et se lie à la logique »

L’auteur met donc entre parenthèses les étiquettes psychologiques ou psychiatriques que l’on pourrait aisément accoler au comportement du logicien, pour considérer ses bizarreries comme des symptômes, non d’une névrose primitive, mais d’une interrogation fondamentale sur la raison. Car les recherches de Gödel portent précisément sur la raison et ses limites. Ou plus exactement, car Gödel est « fanatiquement rationnel », sur les limites de la raison calculante, et sur les possibilités inconnues de la raison intuitive. L’objectif principal du logicien semble en effet avoir été de produire en philosophie une révolution analogue à celle d’Einstein en physique.

Dès sa prime jeunesse, il conçoit l’idéal d’un rationalisme étendu, prenant pour objet les objets de la théologie : Dieu, l’âme. Hao Wang signalait déjà dans son ouvrage classique (Reflections on Kurt Gödel, 1987, traduction française sous le titre Kurt Gödel, A. Colin 1990) cet excès de rationalisme qui n’est plus du rationalisme, et posait la même question : « Il est naturel de croire que ces excentricités n’ont rien à voir avec la philosophie de Gödel. Mais cela n’est pas si sûr puisqu’il est exceptionnellement consistant et qu’être rationnel est le point central de sa recherche philosophique. »

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Encore plus inconnue que la femme du soldat inconnue

On peut aussi prendre la vie du grand logicien par sa face sensible. Celle-ci nous est livrée par un bel ouvrage, premier roman sortis pour la rentrée littéraire par une jeune romanciére, Yannick Grannek qui nous livre un roman passionnant et documenté.

La déesse des petites victoires de Yannick Grannec est l'histoire d'une jeune documentaliste qui cherche à récupérer les archives du mathématicien Kurt Gödel auprès de sa veuve Adèle.  Or si la figure de Kurt Gödel est universellement connue, que dire de celle d’Adèle Gödel, ancienne danseuse de cabaret aux manières trop « prolétariennes » pour la bonne société américaine qui la regarde sans aménité. 

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L’esprit du temps défile devant nos yeux, en scènes courtes et percutante. La montée du nazisme (avec une scène inoubliable et « historique » ou Adèle chasses de jeunes nazis en train de morigéner le pauvre Kurt Gödel, l'Anschluss (Gödel est autrichien) la fuite des cerveaux juifs vers les Etats-Unis, et leurs inquiétudes face à la bombe. Les persécutions qui recommencent, avec le sénateur Joseph McCarthy visant tout ce milieu de scientifiques « progressistes » qu’il considère comme de dangereux « rouges », a commencer par Einstein.  Toute une époque dont la vieille dame a été témoin et qu'elle raconte à Anna depuis le lit de sa maison de retraite. Le combat lucide et perdu d'avance d'une femme, Adèle Gödel, pour être à la hauteur de son époux.

On côtoie dans ce livre tous les grands savants de l'époque. Einstein, et son incomparable humour, et sa légendaire gentillesse- " Il écoutait avec la même bonhomie les grands de ce monde comme les femmes de ménage de l'université"-mais bien d'autres encore. Gödel travaille en effet comme Einstein au saint des saints, l'Institut de Recherche Avancée de Princeton. Certaines scènes sont criantes de vérités (ainsi la psychanalyse opérée sur le couple en perpétuelle dispute par le créateur du mouvement Dada a Berlin est elle criante de vérité et d’humour, et correspond bien aux tempéraments des différents protagonistes°.

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Adèle Gödel cherchera de son mieux à trouver sa place au milieu de ces savants qui ne cessent de plaisanter sur leurs travaux comme lors de ce mémorable déjeuner où elle rate son soufflé en raison (selon Einstein) de l’influence déplorable de Pauli, prix nobel de Physique et  moqué par le découvreur de la Relativité : "La seule présence de notre ami dans un laboratoire suffit à faire échouer une expérience". Adèle souffre en silence " je serai, reconnaît-elle, toujours une exilée au milieu de ces génies".

Gödel, l'un des mathématiciens les plus hermétiques du 20e siècle, est malade des nerfs, atteint d'une psychose paranoïaque. Il prend sa température tous les jours, et la reporte sur un petit carnet. " Il était marié à son baromètre, raconte sa veuve. Et trop chaud. Et pas assez. Trop de vent. Le plus grand logicien du monde? Le roi des emmerdeurs, oui !". Et elle conseille à Anna: "J'ai un conseil à vous donner(...) Fuyez les mathématiciens comme la peste!. Ils vous pressent comme des citrons, vous éloignent de tout ce que vous aimiez et ne vous accordent même pas un chiard pour compenser!".

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C'est finalement cette personne au caractère impossible, violente et attachante, qui  nous octroie le secret d’une vie partagée entre génie et folie. . Une vieille dame qui aime faire des réflexions blessantes ou agressives à son entourage, et qui ne supporte pas d’être considérée avec pitié.  Elle qui dit à Anna que sa veste est "immonde" et lui recommande d'avoir un orgasme car "ca remet toujours les idées en place". Mais dérriére son agressivité, elle cache une véritable générosité et une bonté d’âme inextinguible. Car même si elle ne pouvait pas comprendre les concepts abstraits élaborés par son mari, elle lui a permis cependant par son abnégation, son courage et son humour inusable que l’œuvre se perpétue, jusqu'à la fin. ."Que valaient leurs acrobaties philosophiques en regard du quotidien? ( ...) Moi, se souvient-elle, je connaissais l'ordre du temps : dans l'enchaînement des points d'un ourlet, à la vaisselle lavée et rangée, dans l'alignement des piles de linge repassé, a la cuisson parfaite d'une tarte qui embaume(...)Je croyais à cet ordre de la vie à défaut de lui donner un sens".

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Yannick Grannec "la déesse des petites victoires" Anne Carrière Aout 2012 450p

Pierre Cassou-Noguès "Les démons de Gödel, logique et folie" Seuil, 2007, 285 p.

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