La Vérité et l'absurde : le point de vue d'un mathématicien.

Dans la suite de notre débat sur le statut de la vérité et de la connaissance, Denis Guedj, mathématicien, professeur d'histoire et d'épistémologie des sciences à l'université Paris 7, nous apporte une réflexion, que nous aurions tort de négliger. « La gratuité ne vaut plus rien »est le titre de son livre amusant et profond, paru au Seuil, en 1997. Il s'agit de chroniques parues dans "Libération" entre septembre 94 et février 97. L'auteur y aborde l'actualité à partir des mathématiques. J'évoquerai dans ce billet deux chroniques. La première a donné le titre du livre. La seconde évoque le négationnisme.

Dans la suite de notre débat sur le statut de la vérité et de la connaissance, Denis Guedj, mathématicien, professeur d'histoire et d'épistémologie des sciences à l'université Paris 7, nous apporte une réflexion, que nous aurions tort de négliger. « La gratuité ne vaut plus rien »est le titre de son livre amusant et profond, paru au Seuil, en 1997. Il s'agit de chroniques parues dans "Libération" entre septembre 94 et février 97. L'auteur y aborde l'actualité à partir des mathématiques. J'évoquerai dans ce billet deux chroniques. La première a donné le titre du livre. La seconde évoque le négationnisme.

 

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I. La gratuité ne vaut plus rien

 

Je marchais tranquillement dans les rues de la ville quand mon regard fut happé par une phrase inscrite sur un panneau publicitaire : « Tout ce qui a un prix peut être vendu moins cher »...Je restai coi, cloué sur le trottoir, bousculé par des passants insensibles à mon émoi. Incontestablement cette proposition était vraie ! La formule était signée d'une célèbre chaîne de magasins de la grande distribution. Tout en réfléchissant aux implications mathématiques de cette vérité, je me précipitais dans l'un des centres de la dite chaîne de distribution, pour la mettre à l'épreuve de la réalité

 

 

La vérité mise à l'épreuve

Là-bas, sur un rayon, j'aperçois, comme offerte, une marchandise M. Elle a un prix x1 marqué dessus. Sur le papier de mes commissions, je note p(M) = x1. Il s'agit d'appliquer le principe affirmé dans la publicité. La marchandise M a un prix. Elle peut donc être vendue moins cher : x2. Dans mon caddie, sous mes yeux, par la seule force des mots, la marchandise M vient de baisser son prix : p(M) = x2 avec x2 < x1. É Mais,, ce nouveau prix de M, x2, est un prix comme les autres. A ce titre, M peut être vendu moins cher que x2. Disons x3. Sur le papier des commissions, les x se suivaient :... < x5 < x4 < x3 < x2 < x1.

 

 

Relation d'ordre, suite numérique, limite

« Moins cher » est une relation d'ordre strict défini dans l'ensemble des prix. Chaque prix, du seul fait qu'il s'affichait, en produisait un nouveau, strictement inférieur. Et tous ces x étaient positifs. Les prix successifs de M formaient une suite numérique positive strictement décroissante, nom attribué à ce type d'objet, dans l'univers mathématique. De telles suites admettent toujours une limite, au sens où leurs termes se rapprochent d'aussi près que l'on veut d'un certain nombre, qui est cette limite même. La suite des prix de ma marchandise M avait donc une limite ; les mathématiciens me l'assuraient. Quelle était-elle ? J'allais enfin savoir combien j'aurais à payer. Cela devenait de plus en plus urgent, je me rapprochais de la caisse, tripotant nerveusement mon porte-monnaie. Là, je dus faire un effort. La machine affichait les prix au centime près et ces prix devaient être inférieurs à x1 ; il n'y avait donc qu'un nombre fini de prix possibles (autant que de nombres décimaux avec deux décimales inférieurs à x1). J'avais la solution ! Au milieu d'une émoustillante musique d'ambiance, je pouvais clamer mes certitudes : la suite des x tend vers 0. Et l'atteint ! Il existait donc un entier n tel que xn était égal à 0.

 

 

Les implications : une vérité dissimulée

La marchandise M qui s'étalait dans mon caddie valait 0 franc ! Ni plus, ni moins. Et ceci parce qu'il n'y avait pas une infinité de prix possibles. Mais il n'y avait pas que M à être dans ce cas ; les mots de la pub résonnèrent dans mes oreilles : « Tout ce qui a un prix... » Ainsi toutes les marchandises exposées ici ne valaient rien ! Sur les murs de nos cités, au nez et à la barbe de chacun de nous, un redoutable slogan anticapitaliste était affiché par les soins d'un grand de la distribution : « Tout ce qui a un prix ne vaut rien »

Suivant la règle logique qui édicte que si A entraîne B, alors le contraire de B entraîne le contraire de A, je déduisais, en faisant la queue, que puisque « tout ce qui a un prix ne vaut rien », alors « tout ce qui ne vaut pas rien, c'est-à-dire tout ce qui vaut, n'a pas de prix ». Acculé, je ne pus que conclure : la marchandise n'a rien à voir avec la valeur ! Lorsque je tombais sur un autre slogan : « pour deux articles achetés, le troisième est gratuit. Mais là, je n'allais pas tomber dans le piège de la publicité. « Si tout ce qui vaut n'a pas de prix, alors la gratuité ne vaut plus rien ».

 

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II . Les négationnistes n'existent pas

 

 

Un spécialiste de l'histoire du vide déclare en première page d'un journal du soir : « Le Garaudy n'existe pas, je l'ai rencontré. » Depuis lors, un petit groupe d'idéologues, les « négaraudistes », se répandent dans les médias, affirmant que le Garaudy n'a jamais eu lieu. A leurs yeux, aucune
preuve convaincante de son existence n'a jusqu'à présent été apportée. Et pourtant ! Des témoins, rescapés du stalinisme, affirment l'avoir vu nicher dans le Temple Stalinien. D'autres certifient l'avoir vu un temps dans la Maisonnette Protestante. D'autres encore jurent l'avoir vu s'installer avec
tout son passé dans le Pavillon Musulman. Fiches de loyer, photos de famille, etc., ont été versées au dossier. Pour les négaraudistes, la multiplicité des Garaudys, loin de prouver son existence, milite au contraire en faveur de sa non-existence : « S'il y en a plusieurs, différents, c'est qu'il n'y en a pas un. Donc le Garaudy n'existe pas. » L'existence du Faurisson lui-même, qui jusqu'alors n'avait jamais été sujette à controverse, a également été niée. « Vous ne pouvez pas apporter de preuves »

 

En maths, la conviction unanime ne fait pas vérité

En 1640, le mathématicien Pierre de Fermat affirma que, « pour aucun entier supérieur ou égal à 3, on peut trouver trois entiers x, y, z tels que : X2 + Y2 = Z2 ». Tous les mathématiciens depuis ont été convaincus de la vérité de la proposition. Cela ne suffit pas ! En mathématiques, seule une démonstration est en mesure d'établir la vérité d'une proposition. Dit autrement : tant que la vérité d'une proposition P n'a pas été établie, cette proposition ne peut servir à établir d'autres vérités. Sauf à dire : « Si P est vraie, alors telle autre, R, l'est également. » Revenons à l'assertion de Fermat. Il a fallu attendre 1987 pour que D. Health Brown « l'établisse pour presque toutes les valeurs de n. » Mais « presque toutes, en maths, ce n'est pas « toutes. » Et il a fallu sept années de plus, en 1994, pour qu'Andrew White passe de « presque toutes » à « toutes. » Avant, on disait « conjectures » de Fermat, maintenant seulement, on dit « théorème de Fermat »

 

 

La folie de la preuve

Une preuve apparaît comme un enchaînement d'arguments ; comme une chaîne peut-être longue, de conclusions partielles, la solidité de la chaîne est celle de son maillon le plus faible
« Croyez que je suis le premier à le déplorer, mais l'extermination n'a pas eu lieu, expectore le négationniste. Tous ces « rescapés des camps » que, des années plus tard, vous exhibez encore bien vivants, sont là pour le prouver. Exterminer, n'est-ce pas faire périr jusqu'au dernier ? »
Paradoxe mathématique que celui concocté par les négationnistes : eux qui, souhaitent tant que l'extermination ait eu lieu se démènent pour la nier ; et ceux qui donneraient tout pour qu'elle n'ait pas eu lieu se font du mal en voulant en prouver la réalité. Non contents que l'innommable soit advenu, les négationnistes s'acharnent à le faire revivre sans cesse, jouissant d'entendre les victimes refaire le récit de leurs cauchemars. Rouvrir sans relache la plaie pour réactualiser la souffrance. Tout début de discussion avec les négationnistes est pour eux, une victoire. Lorsque la preuve ne fait pas preuve à travers le discours, comment penser que la vérité ne se trouve pas en dehors du discours ?

 

 

Les « Maîtres de la Preuve »

Même en mathématiques, il n'y a de preuve que dans un système, on dit une théorie. Une théorie est un univers d'objets liés par des vérités de base, dans une sorte de socialité qui les fait « tenir » ensemble. Il n'y a pas, en mathématiques, de vérités absolues, transverses à tous les univers possibles. Qu'est-ce à dire ? Si le système dans lequel une vérité est vérité change ou s'élargit, il faut refaire le travail de la preuve. Et ailleurs qu'en mathématiques ? C'est tout comme. Celui-ci exige de moi une preuve ? Je commence par lui demander : « Qu'est-ce qui, pour toi, serait une preuve ? » Tant que nous ne nous serons pas mis d'accord non pas sur le fait que ceci en particulier est bien « la
preuve de », mais sur ce qui peut constituer une preuve, tant que cet accord n'aura pas été fait, à quoi bon tenter de prouver ?

Partout, comme en mathématiques, il n'y a de preuve qu'à l'intérieur d'un système de pensée ; il n'y a de preuve que dans les limites d¹un monde. C¹est même l'acceptation de ce que sont les preuves admises par un ensemble d'individus à une période donnée, qui constitue le consensus minimal fondant une société. Vous et moi, nous sommes dans le même monde parce que nous admettons que ceci ou cela est une preuve. Quand plus rien ne fait preuve, il ne reste que la sauvagerie.
A chaque époque de l'Histoire et pour chaque société, il y a des maîtres de preuve qui déterminent le champ de la preuve, qui disent par quels biais s'établiront des vérités. Ce sont eux les véritables maîtres du jeu. Qui sont aujourd'hui les Maîtres de la Preuve de nos sociétés ?

 

 

III- L'apport de Denis Guedj


« L'idée qu'il n'y a, en mathématiques, que des vérités "sous condition" est politiquement et philosophiquement inappréciable. ..."Ceci est vrai si...." La nécessité de dire "d'où l'on parle", dans quelle théorie cette affirmation est vraie, oblige à "cadrer" son discours... Là, on peut le dire, il s'agit à cette rigueur-là. Et c'est une bonne rigueur. "Sous condition" ne signifiant pas qu'on a affaire à des vérités molles ouvrant la porte à un relativisme tous azimuts, mais à des vérités fortes mais locales. Tout ne vaut pas tout, on ne nage pas dans l'approximatif et dans l'équivalence. On sait des choses, "on est assuré que...", mais pas partout, pas n'importe où. »


Denis Guedj, 1997, La gratuité ne vaut plus rien et autres chroniques mathématiques, Points, Seuil


A lire également un roman de Denis Guedj, 1998, Le Théorème du Perroquet, Points, Seuil.

Une intrigue policière y est le prétexte pour dérouler un parcours dans l'histoire des mathématiques, jalonnées de grands mathématiciens : Thalès, Pythagore, Euclide, Hypathie, Al-Khwarizimi, Omar Khayyam, Nasir ad-Din at-Tusi, Tartaglia, Lodovoco Ferrari, Abel, Galois, Fermat, Euler...De la naissance de l'algèbre au théorème de Fermat et à la conjecture de Golbach... Passionnant...

 

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