Pythagore et les nombres entiers, rationnels, irrationnels

Théorème de Pythagore réciproque, et contraposée. N'ayez pas peur. Les maths ne sont pas si pénibles. D'abord, Pythagore, à part nous prendre la tête avec des triangles rectangles, il a établi la relation entre la longueur et la tension d'une corde d'instrument et sa fréquence. (On verra un de ces quatre que les fréquences des notes sont une suite géométrique de raison racine douzième de 2)

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Nombre irrationnel, ça vous en bouche un coin, non ? Si quelque chose ne peut être suspecté d’irraison, c’est bien le nombre ! Mais la racine raison est, dans cette acception, plus proche du sens premier du latin ratio. En fait, la raison, telle qu’on ne la parle pas très souvent sur notre monde, c’est la capacité de calculer. Au sens noble. Le calcul est parfois une prouesse. Enfin, quand il est destiné à sauver ou à aider. Je ne parle pas du calcul destiné à spolier, voler, blesser, tuer. Par exemple, Alan Turing, qui a cassé le code Enigma des Allemands pendant la seconde guerre mondiale, est un héros. Il a allié, pour réaliser sa prouesse, intelligence, art du calcul, et aussi imagination et créativité, puisque c’était la première utilisation de l’ordinateur dans le monde du renseignement.

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La raison, c’est par exemple quand on reste chez soi pour freiner la pandémie. Le calcul, souvent contraire à l’instinct, à l’ego. La raison, c’est prendre en compte. Considérer. C’est par exemple savoir se rationner quand il le faut. Et voici l’origine métaphorique du sens actuel de raison, qui s’éloigne la plupart du temps de ce sens de calcul, que l’on trouve parfois dans des tournures : « L’Oise montait à raison de dix centimètres par jour. »

Un nombre rationnel est un nombre qu’on peut rationner, partager, mettre sous la forme d’un quotient de nombres entiers. Le quart et le tiers sont des rations, des rationnels. Pour concevoir le nombre irrationnel, c’est un peu plus difficile. Les racines carrées de nombres non carrés, par exemple √2, ou encore les vedettes, pi, e, phi…

Aujourd’hui, premier épisode d’un nouveau feuilleton sur la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore. Mon petit programme, au lieu de donner deux nombres dans un triangle rectangle, puis de vous demander de calculer le troisième, vous donne trois nombres. Et vous demande de dire si le triangle dont les côtés ont pour mesure ces trois nombres est rectangle.

On peut réviser les notions de théorème, direct, réciproque, et contraposé ici.

Aujourd'hui, on va commencer calmos avec des nombres entiers. (Il existe seize triangles rectangles pythagoriciens, c'est-à-dire dont les côtés sont entiers, avec des longueurs toutes inférieures à 100). Puis on mettra des rationnels éventuellement non entiers. Enfin on introduira des nombres irrationnels. À chaque fois, il faudra dire si le triangle est rectangle ou non, et justifier.

 

Épisode N° 5 ; réciproque ou contraposée du théorème de Pythagore.
Le triangle QAX est tel que ses trois côtés ont les longueurs suivantes :
QA = 9, QX = 40, AX = 41.
Est-il rectangle ? Si oui, dites en lequel de ses sommets ; justifiez en mentionnant soit la réciproque, soit la contraposée du théorème de Pythagore.

Méthode : il faut faire une rédaction en trois paragraphes :

1) Calculer le carré du plus grand côté.
2) Calculer la somme des carrés des deux autres côtés.
3) En fonction des résultats trouvés, conclure.

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